Скалярная мера взаимозависимости между случайными векторами

Рассмотрена проблема оценивания тесноты взаимозависимости между случайными векторами разной размерности. Эти случайные векторы могут иметь произвольные многомерные непрерывные законы распределения. Получено аналитическое выражение для коэффициента тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Он выражается через коэффициенты детерминации условных регрессий между компонентами случайных векторов. Для случая гауссовских случайных векторов получена более простая формула, выраженная через определители каждого из случайных векторов и определитель их объединения. Показано, что введенный коэффициент соответствует всем основным требованиям, предъявляемым к мере тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Данный подход имеет преимущества по сравнению с методом канонических корреляций. Он позволяет определить фактическую тесноту взаимозависимости между случайными векторами. Кроме того, он может использоваться и при нелинейных корреляционных зависимостях между компонентами случайных векторов. Введенная мера достаточно просто интерпретируема и может практически применяться на реальных выборках данных. Приведены примеры расчета тесноты взаимозависимости между гауссовскими случайными векторами разной размерности.

1. Эсбенсен К. Анализ многомерных данных. Избранные главы / Пер. с англ. — Черноголовка: Изд-во ИПХФ РАН, 2005. — 160 с.

2. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.

3. Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.

4. Тюрин Ю. Н. Многомерная статистика: гауссовские линейные модели. — М.: Издательство Московского университета, 2011. — 136 с.

5. Pena D., Rodriguez J. Descriptive Measures of Multivariate Scatter and Linear Dependence / Journal of Multivariate Analysis. 2003. Vol. 85. Issue 2. P. 361 – 374. DOI: 10.1016/S0047-259X(02)00061-1.

6. Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Communications in Statistics: Theory and Methods. 2007. Vol. 36. Issue 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449.

7. Тырсин А. Н. Мера совместной корреляционной зависимости многомерных случайных величин / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т. 80. № 1. С. 76 – 80.

8. Тырсин А. Н. Энтропийное моделирование многомерных стохастических систем. — Воронеж: Научная книга, 2016. — 156 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_25475510_ 92447945.pdf.

9. Тырсин А. Н., Соколова И. С. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем / Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 1. С. 88 – 102. http:// www.mathnet.ru/links/f5cf79ca6d17de8bb14a28fdad137d6a/ mm3199.pdf.

10. Биргер И. А. Техническая диагностика. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.

11. Сошникова Л. А., Тамашевич В. Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. — 598 с.

12. Manly B. F. J., Navarro A. J. A. Multivariate Statistical Methods. A Primer. 4th ed. — CRC Press, 2017. — 255 p.

13. Елисеева И. И., Курышева С. В., Коростелева Т. В. и др. Эконометрика. Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 576 с.