Задача восстановления зависимостей по данным с интервальной неопределенностью

Рассмотрена задача восстановления зависимостей по данным с неопределенностью, которая не описывается теоретико-вероятностными законами, но ограничена по величине и имеет интервальный характер, т.е. выражается интервалами возможных значений данных. Исследован наиболее общий случай, когда интервалы являются результатами измерений как в независимых (предикторных) переменных, так и в зависимой (критериальной) переменной. Введены понятия слабой и сильной согласованности данных и параметров функциональной зависимости. Формулировки задач сведены к исследованию и оцениванию различных множеств решений для интервальной системы уравнений, построенной по обрабатываемым данным. Подробно рассмотрено сильное согласование параметров и данных как более практичное, более адекватное реальности и обладающее лучшими теоретическими свойствами. Оценки параметров зависимости, получаемые с учетом сильного согласования, имеют полиномиальную вычислительную сложность, робастны, почти всегда имеют конечную вариабельность, а также лишь частично подвержены так называемому парадоксу Е. З. Демиденко. Предложена вычислительная технология решения задачи восстановления линейной зависимости в условиях интервальной неопределенности данных и с учетом требования сильного согласования. Ее основой служит техника, основанная на применении так называемого распознающего функционала множества решений задачи — специального отображения, которое знаком своих значений распознает принадлежность точки множеству решений и одновременно дает количественную меру этой принадлежности. Обсуждаются свойства распознающего функционала. Оценкой параметров восстанавливаемой зависимости принимается точка максимума этого функционала, которая обеспечивает наилучшее согласование параметров и данных (или их наименьшее рассогласование). Соответственно, практическая реализация этого подхода, названного «методом максимума согласования», сводится к численному нахождению безусловного максимума распознающего функционала — вогнутой негладкой функции. В заключение работы приведен конкретный пример решения задачи восстановления линейной функции по данным измерений с интервальной неопределенностью.

1. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. — Москва – Ижевск: Издательство «РХД», 2007. — 468 с.

2. Интервальный анализ и его приложения. — Тематический веб-сайт, http://www.nsc.ru/interval.

3. Moore R. E., Kearfott R. B., Cloud M. J. Introduction to Interval Analysis. — Philadelphia: SIAM, 2009. — 223 p.

4. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2019. — 631 с. Электронная книга, доступная на http://www.nsc.ru/interval/InteBooks.

5. Kearfott R. B., Nakao M., Neumaier A., Rump S., Shary S. P., van Hentenryck P. Standardized notation in interval analysis / Вычислительные Технологии. 2010. Т. 15. № 1. С. 7 – 13.

6. Канторович Л. В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений / Сибирский математический журнал. 1962. Т. 3. № 5. С. 701 – 709.

7. Вощинин А. П., Бочков А. Ф., Сотиров Г. Р. Метод анализа данных при интервальной нестатистической ошибке / Заводская лаборатория. 1990. Т. 56. № 7. С. 76 – 81.

8. Вощинин А. П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т. 68. № 1. С. 118 – 126.

9. Скибицкий Н. В. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов по интервальным данным / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2017. Т. 83. № 1. Ч. I. С. 87 – 93.

10. Суханов В. А. Исследование эмпирических зависимостей: нестатистический подход. — Барнаул: Издательство Алтайского университета, 2007. — 290 с.

11. Оскорбин Н. М., Максимов А. В., Жилин С. И. Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределенностей / Известия Алтайского государственного университета. 1998. № 1. С. 37 – 40.

12. Zhilin S. I. On fitting empirical data under interval error / Reliable Computing. 2005. Vol. 11. P. 433 – 442. DOI: 10.1007/ s11155-005-0050-3.

13. Спивак С. И., Кантор О. Г., Юнусова Д. С. Идентификация и информативность моделей количественного анализа многокомпонентных смесей / Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 3. С. 153 – 163.

14. Поляк Б. Т., Назин С. А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интервальной неопределенностью / Проблемы управления и информатики. 2006. № 1, 2. С. 103 – 115.

15. Кумков С. И. Обработка экспериментальных данных ионной проводимости расправленного электролита методами интервального анализа / Расплавы. 2010. № 3. С. 79 – 89.

16. Померанцев А. Л., Родионова О. Е. Построение многомерной градуировки методом простого интервального оценивания / Журнал аналитической химии. 2006. Т. 61. № 10. С. 1032 – 1047.

17. Подружко А. А., Подружко А. С. Интервальное представление полиномиальных регрессий. — М.: Эдиториал УРСС, 2003. — 47 с.

18. Шарый С. П. Разрешимость интервальных линейных уравнений и анализ данных с неопределенностями / Автоматика и Телемеханика. 2012. № 2. С. 111 – 125.

19. Шарый С. П., Шарая И. А. Распознавание разрешимости интервальных уравнений и его приложения к анализу данных / Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 3. С. 80 – 109.

20. Шарый С. П. Сильная согласованность в задачах восстановления зависимостей по интервальным данным / Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». 2017. Т. 9. № 1. С. 39 – 48.

21. Шарый С. П. Сильная согласованность в задаче восстановления зависимостей при интервальной неопределенности данных / Вычислительные технологии. 2017. Т. 22. № 2. С. 150 – 172.

22. Шарый С. П. Метод максимума согласования для восстановления зависимостей по данным с интервальной неопределенностью / Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 6. С. 3 – 19.

23. Schweppe F. C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs / IEEE Trans. on Automatic Control. 1968. AC-13. P. 22 – 28.

24. Combettes P. L. Foundations of set-theoretic estimation / Proc. IEEE. 1993. Vol. 81. N 2. P. 182 – 208.

25. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E., eds. Bounding Approaches to System Identification. — New York: Plenum Press, 1996. — 567 p. DOI: 10.1007/978-1-4757-9545-5.

26. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О решении задач статистического анализа интервальных наблюдений / Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. № 1. С. 28 – 36.

27. Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Краснодар: Издательство КубГАУ, 2014. — 600 с.

28. Орлов А. И. Статистика интервальных данных (обобщающая статья) / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2015. Т. 81. № 3. С. 61 – 69.

29. Шарый С. П. Решение интервальной линейной задачи о допусках / Автоматика и телемеханика. 2004. № 7. С. 147 – 162.

30. Rohn J. Inner solutions of linear interval systems / Interval Mathematics 1985 / K. Nickel, ed. Lecture Notes in Computer Science 212. — Berlin: Springer, 1986. P. 157 – 158.

31. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 1. — М.: Мир, 1991. — 360 с.

32. Шарая И. А. Ограничено ли допустимое множество решений интервальной системы? / Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. № 3. С. 108 – 112.

33. Sharaya I. A. On unbounded tolerable solution sets / Reliable Computing. 2005. Vol. 11. N 5. P. 425 – 432. DOI: 10.1007/ s11155-005-0049-9.

34. Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения. — Киев: Наукова думка, 1969. — 624 с.

35. Shary S. P. Interval regularization for imprecise linear algebraic equations. Статья, депонированная в репозитории arXiv.org 27 сентября 2018 года, номер arXiv: 1810.01481. — 21 с.

36. Демиденко Е. З. Комментарий II к статье А. П. Вощинина, А. Ф. Бочкова и Г. Р. Сотирова «Метод анализа данных при интервальной нестатистической ошибке» / Заводская лаборатория. 1990. Т. 56. № 7. С. 83 – 84.

37. Шор Н. З., Журбенко Н. Г. Метод минимизации, использующий операцию растяжения пространства в направлении разности двух последовательных градиентов / Кибернетика. 1971. № 3. С. 51 – 59.

38. Стецюк П. И. Субградиентные методы ralgb5 и ralgb4 для минимизации овражных выпуклых функций / Вычислительные технологии. 2017. Т. 22. № 2. С. 127 – 149.

39. Nurminski E. A. Separating plane algorithms for convex optimization / Mathematical Programming. 1997. Vol. 76. P. 373 – 391. DOI: 10.1007/BF02614389.

40. Воронцова Е. А. Линейная задача о допусках для интервальной модели межотраслевого баланса / Вычислительные технологии. 2017. Т. 22. № 2. С. 67 – 84.